Python 55 - 1이 될 때까지( 알고리즘 )

어떠한 수 N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 한다.

단, 두 번쨰 연산은 N이 K로 나누어떨어질 때만 선택할 수 있다.

1. N에서 1을 뺀다.
2. N을 K로 나눈다.

예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정하자.  이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 된다.

이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면 N은 1이 된다. ( 16/4 = 4  ->    4/4 = 1 )

결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이된다. ( 1번은 1을 뻔것 2번과 세번은  k로 나눈것 )

이는 N을 1로 만드는 최소 횟수이다.

 

N과 K가 주어질 때

N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력조건

• 첫째 줄에 N ( 2<=N<=100,000 ) 과 K( 2<=K<=100,000 ) 가 공백으로 구분되며 각각 자연수로 주어진다.              이때 입력으로 주어지는 N은 항상 K보다 크거나 같다.

출력조건

• 첫째 줄에 N이 1이 될때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

문제해설

주어진 N에 대하여 '최대한 많이 나누기'를 수행하면 어렵지 않게 해결할 수 있다.

왜냐면 어떠한 수가 있을 때, '2 이상의 수로 나누는 것'이 '1을 빼는 것' 보다 숫자를 훨씬 많이 줄일 수 있기 때문이다.

 

문제에서는 K가 2 이상의 자연수이므로, 가능하면 나누는 것이 항상 더 숫자를 빠르게 줄이는 방법이 된다.

예를 들어 N이 9일 때 K가 3이라면 2번만 나누어도 순식간에 N=9에서 N=1이 된다.

그러므로 매우 빠르게 1을 만들 수 있다.

 

반면에 N=9일 때 1을 빼는 방식만을 이용하면 8번을 빼야하지만 N=1을 만들 수 있다.

그러므로 K로 가능한 한 많이 나눴을 때 가장 빠르게 N=1을 만들 수 있다.

 

따라서 다음의 과정을 반복할 수 없을 때까지 반복하면 정답을 구할 수 있다.

• N이 K의 배수가 될 때까지 1씩 빼기
• N을 K로 나누기

 

 

예를 들어 N=25, k=3일 때는 다음과 같다.

단계	연산 과정	N의 값
0단계(초기 단계)		N = 25
1단계	N에서 1 빼기	N = 24
2단계	N을 K로 나누기	N = 8
3단계	N에서 1 빼기	N = 7
4단계	N에서 1 빼기	N = 6
5단계	N을 K로 나누기	N = 2
6단계	N에서 1 빼기	N = 1

6번의 과정으로 N = 1 을 만들 수 있다.

 

 

N = 27, K = 3 일 때를 다시 생각해보자. 처음 3으로 나누었을 때 27에서 18이 줄어들어 N = 9가 된다.

그다음에 3으로 나누었을 떄 9에서 6이 줄어들어 N = 3이 된다.

다시 말해 N이 클수록 K로 나누었을 때 줄어드는 양이 더 많다.

N이 처음엔 큰 수라고 해도 나누기를 수행하면서 크기가 빠르게줄어든다.

다시 말해 K가 2 이상이기만 하면 K로 나누는 것이 1을 빼는 것보다 항상 빠르게 N의 값을 줄일 수 있으며 , N이 결국 1에 도달한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 K로 최대한 많이 나눌 수 있도록 하는 것이 최적의 해를 보장하는 것이다.

 

 

파이썬을 이용해 작성한 답안 예시는 다음과 같다.

n, k = map(int, input().split)
result = 0

# N이 K이상이라면 K로 계속 나누기
while n >= k:
    # N이 K로 나누어 떨어지지 않는다면 N에서 1씩 빼기
    while n % k != 0:
        n -= 1
        result += 1
    # K로 나누기
    n //= k
    result += 1
    
# 마지막으로 남은 수 에 대하여 1씩 빼기
while n > 1:
    n -= 1
    result += 1
    
print(result)

문제에서는 N의 범위가 10만 이하이므로, 이처럼 일일이 1씩 빼도 문제를 해결할 수 있다.

하지만, N이 100억 이상의 큰 수가 되는 경우를 가정했을 때에도 빠르게 동작하려면, N이 K의 배수가 되도록 효율적으로 한 번에 빼는 방식으로 소스코드를 작성할 수 있다.

# N, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, k = map(int, input().split)
result = 0

while True:
    # ( N == K로 나누어 떨어지는 수)가 될 때까지 1씩 빼기
    target = (n//k) * k
    result += (n - target)
    n = target
    # N이 K보다 작을 때 (더 이상 나눌 수 없을 때)반복문 탈출
    if n < k:
        break
    # k로 나누기
    result += (n -1)
    n //= k
    
# 마지막으로 남은 수 에 대하여 1씩 빼기
result += (n - 1)
    
print(result)

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본 포스팅은 ‘이것이 코딩 테스트다 with 파이썬’을 읽고 공부한 내용을 바탕으로 작성하였습니다.

 

 

작성자 : 엄코딩 eomcoding