Python 53 - 큰 수의 법칙( 알고리즘 )

'큰 수의 법칙' 은 일반적으로 통계 분야에서 다루어지는 내용이지만 글쓴이는 본인만의 방식으로 다르게 사용하고 있다. 글쓴이의 큰 수의 법칙은 다양한 수로 이루어진 배열이 있을 때 주어진 수들을 M번 더하여 가장 큰 수를 만드는 법칙이다. 단, 배열의 특정한 인덱스(번호)에 해당하는 수가 연속해서 K번을 초과하여 더해질 수 없는 것이 이 법칙의 특징이다.

 

예를 들어 순서대로 2, 4, 5, 4, 6 으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 8이고, K가 3이라고 가정하자.

이 경우 특정한 인덱스의 수가 연속해서 세번까지만 더해질 수 있으므로 큰 수의 법칙에 따른 결과는

6 + 6 + 6 + 5 + 6 + 6 + 6 + 5 인 46이 된다. 단, 서로 다른 인덱스에 해당하는 수가 같은 경우에도 서로 다른 것으로 간주한다. 예를 들어 순서대로 3, 4, 3, 4, 3 으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 7이고, K가 2라고 가정하자.

이경우 두번쨰 원소에 해당하는 4와 네번 째 원소에 해당하는 4를 번갈아 두 번 씩 더하는 것이 가능하다.

결과적으로 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 인 28이 도출된다.

 

문제

배열의 크기 N, 숫자가 더해지는 횟수 M, 그리고 K가 주어질 때 위에서 알아본 큰 수의 법칙에 따른 결과를 출력하시오

 

.

입력조건

• 첫째 줄에 N(2<=N<=1,000), M(1<=M<=10,000), K(1<=K<=10,000) 의 자연수가 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다.
• 둘 쨰 줄에 N개의 자연수가 주어진다. 각 자연수는 공백으로 구분한다. 단, 각각의 자연수는 1 이상 10,000 이하의 수로 주어진다.
• 입력으로 주어지는 K는 항상 M보다 작거나 같다.

출력조건

• 첫째 줄에 위에서 알아서본 큰수의 법칙에 따라 더해진 답을 출력한다.

입력예시

• 5   8   3
• 2   4   5   4   6

출력예시

• 46

문제해설

이 문제를 해결하려면 일단 입력값 중에서 가장 큰 수와 두 번쨰로 큰 수만 저장하면 된다.

연속으로 더할 수 있는 횟수는 최대 K번이므로 '가장 큰 수를 K번 더하고 두 번째로 큰 수를 한 번 더하는 연산'을

반복하면 된다. 이를 소스코드로 표현하면 다음과 같다.

# N, M, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, m, k = map(int, input().split())
# N개의 수를 공백으로 구분하여 입력받기
data = list(map(int, input().split()))

data.sort() # 입력받은 수들 정렬하기
first = data[n-1] # 가장 큰 수
second = data[n-2] # 두 번째로 큰 수

result = 0

while True:
    for i in range(k): # 가장 큰 수를 K번 더하기
        if m == 0: # m이 0 이라면 반복문 탈출
            break
        result += first
        m -= 1 # 더 할 때마다 1씩 빼기
    if m == 0: # m이 0이라면 반복문 탈출
        break
    result += second # 두 번째로 큰 수를 한 번 더하기
    m -= 1 # 더할 때마다 1씩 빼기
    
print(result) # 최종 답안 출력

파이썬에서 여러 데이터를 한꺼번에 입력받을 때에는 list()와 map()을 이용한다.

 

 

이 문제는 M이 10,000 이하이므로 이 방식으로도 문제를 해결 할 수 있지만, M의 크기가 100억 이상 처럼 커진다면 시간 초과 판정을 받을 것이다. 간단한 수학적 아이디어를 이용해 더 효율적으로 문제를 해결해보자,

예를 들어 N이 5이고 입력값이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

 

2

4

5

4

6

이 때 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수를 선택하면 다음과 같다.

• 가장 큰 수 : 6
• 두 번 쨰로 큰 수 : 5

이 때 M이 8이고, K가 3이라면 다음과 같이 더했을 떄 합을 최대로 할 수 있다.

다시 말해 (6 + 6 + 6 + 5) + (6 + 6 + 6 + 5) 로 정답은 46이 된다.

6

6

6

5

6

6

6

5

 이 문제를 풀려면 가장 먼저 반복되는 수열에 대해서 파악해야 한다.

가장 큰 수와 두번 재로 큰 수가 더해질 때는 특정한 수열 형태로 일정하게 반복해서 더해지는 특징이 있다.

위의 예시에서는 수열 {6, 6, 6, 5}가 반복된다.

 

그렇다면 반복되는 수열의 길이는 어떻게 될까?

 

바로 (K+1)로 위의 예시에서는 4가 된다. 따라서 M을 (K+1)로 나눈 몫이 수열이 반복되는 횟수가 된다.

다시 여기에 K를 곱해주면 가장 큰 수가 등장하는 횟수가 된다.

이떄 M이 (K+1)로 나누어떨어지지 않는 경우도 고려해야 한다.

 

그럴 때는 M을 (K+1)로 나눈 나머지만큼 가장 큰 수가 추가로 더해지므로 이를 고려해주어야 한다.

즉, '가장 큰 수가 더해지는 횟수'는 다음과 같다.

int(M / (K + 1)) * K + M % (K + 1)

결과적으로 위의 식을 이용하여 가장 큰 수가 더해지는 횟수를 구한 다음, 이를 이용해 두 번째로 큰 수가 더해지는 횟수를 구할 수 있는 것이다. 이를 토대로 파이썬을 이용해 답안을 작성하면 다음과 같다.

# N, M, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, m, k = map(int, input().split())
# N개의 수를 공백으로 구분하여 입력받기
data = list(map(int, input().split()))

data.sort() # 입력받은 수들 정렬하기
first = data[n-1] # 가장 큰 수
second = data[n-2] # 두 번째로 큰 수

# 가장 큰 수가 더해지는 횟수 계산
count = int(m / (k + 1)) * k
count += m % (k + 1)

result = 0
result += (count) * first # 가장 큰 수 더하기
result += (m - count) * second # 두 번째로 큰 수 더하기

print(result) # 최종 답안 출력

 

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본 포스팅은 ‘이것이 코딩 테스트다 with 파이썬’을 읽고 공부한 내용을 바탕으로 작성하였습니다.

 

 

작성자 : 엄코딩 eomcoding